线代破旧笔记

特殊行列式？ 1）主对角线的：上三角=下三角=对角=主对角 2）副对角线的：上三角=下三角=对角=（-1）^n(n-1)/2 *副对角

行列式性质？ 行列互换，值不变， 行行（|列列）互换，变符号， 系数k*行列式 = 系数k与某一行相乘后的行列式 系数k与某一行相乘后的行列式+任意一行（除了这一行以外） 后的行列式值 = 原行列式值 某一行为0，值为0（每行表示一个空间向量，行列式二维表示面积，三维表示体积） 可拆（拆/加）性：拆/加一行，其他行不变，分出两个行列式

行列式计算？ 简单的二三阶，对角线法则（只适应二三阶） 分析行列特点，（常见：列和相等、行和相等->全家到一行，分离出k*1） 化简，凑0

秩：最大无关向量组内的向量数

$秩=\left\{ \begin{aligned} 满秩 \\ 不分行秩和列秩，划等号\\ \end{aligned} \right.$

数乘矩阵

|KA|=Kⁿ |A|

$符号=\left\{ \begin{aligned} A：矩阵A \\ |A|：行列式A \\ ||α|| ：向量α的模 \\ \frac{α}{ ||α|| }:α方向向量 \\ \end{aligned} \right.$

可＋: 同型矩阵，同行同列

可×：m ×s s×n

转置： […]^T 行向量 -> 列向量

转置矩阵，按主对角线翻转

$\left[ \begin{matrix} a & b & c\\ d & e & f \\ \end{matrix} \right]$

↓

$\left[ \begin{matrix} a & d\\ b & e\\ c & f \end{matrix} \right]$

AB ≠ BA （AB）=B^TA^T (A+B)^T = A^T+B^T _{(张宇：穿脱原则)}

逆矩阵？、伴随矩阵？

标准正交向量组（规范正交基） 向量个数=维数

a_i^Ta_j $\left\{ \begin{aligned} =0,& i ≠ j \\ =1 &i=j \\ \end{aligned} \right.$

施密特标准正交化$\left\{ \begin{aligned} β1 =α1，& i ≠ j \\ β2 =α2 - \frac{α2·β1}{α1·β1} β1， &i=j \\ \end{aligned} \right.$

n1=$\frac{β1}{||β1||}$ 、n2=$\frac{β2}{||β2||}$

对角矩阵、正交矩阵（AA^T=E）

对称矩阵(关于主对角线对称，a_ij=a_ji)

_{$\left[ \begin{matrix} A & 0\\ 0 & B\\ \end{matrix} \right]$}ⁿ

↓

_{$\left[ \begin{matrix} A^n & 0\\ 0 & B^n\\ \end{matrix} \right]$}

$\left[ \begin{matrix} a & b & c & d & e\\ f & g & h & i & j \\ k & l & m & n & o \\ p & q & r & s & t \end{matrix} \right]$